Razão e Proporção para Concursos: O que Você Precisa Saber para Ser Aprovado
Publicado por
Equipe São Paulo Concursos
Razão e proporção estão entre os temas mais cobrados em provas de concursos públicos no Brasil. Estes conceitos aparecem não apenas como questões diretas, mas também como base para resolver problemas de regra de três, porcentagem, escalas e divisão proporcional.
Se você dominar razão e proporção, estará preparado para enfrentar uma grande variedade de questões matemáticas que podem fazer a diferença na sua aprovação.
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O que é Razão?
Razão é a comparação entre dois números através de uma divisão. É uma forma de expressar quantas vezes um número contém o outro ou qual a relação existente entre duas grandezas.
Definição: A razão entre dois números a e b (com b ≠ 0) é o quociente a ÷ b, que pode ser escrito como:
a/b
a : b (lê-se “a está para b”)
Exemplos Práticos de Razão
Exemplo 1: Em uma turma de 30 alunos, 18 são mulheres e 12 são homens.
Razão entre mulheres e homens: 18/12 = 3/2 (para cada 3 mulheres, há 2 homens)
Razão entre homens e total: 12/30 = 2/5 (2 em cada 5 alunos são homens)
Exemplo 2: Se um carro percorre 240 km em 3 horas:
Razão distância/tempo: 240/3 = 80 km/h (velocidade média)
Tipos Especiais de Razão
Razão Inversa: Se a razão entre A e B é 2/3, então a razão entre B e A é 3/2.
Razão Unitária: Quando um dos termos é igual a 1. Exemplo: 5/1 = 5 (razão de 5 para 1).
Razão Percentual: Razão expressa na forma de porcentagem. Exemplo: 15/100 = 15%.
O que é Proporção?
Proporção é a igualdade entre duas razões. Indica que duas razões representam a mesma relação.
Definição: Dados quatro números a, b, c e d (com b ≠ 0 e d ≠ 0), temos uma proporção quando: a/b = c/d ou a : b = c : d
Lê-se: “a está para b assim como c está para d”
Propriedade Fundamental das Proporções
Na proporção a/b = c/d, temos: a × d = b × c
Esta é a propriedade mais importante e mais utilizada em concursos. Os produtos dos extremos (a e d) é igual ao produto dos meios (b e c).
Exemplos de Proporção
Exemplo 1: Verificar se 6/9 = 8/12 forma uma proporção.
Produto dos extremos: 6 × 12 = 72
Produto dos meios: 9 × 8 = 72
Como 72 = 72, temos uma proporção verdadeira.
Exemplo 2: Encontrar x na proporção 5/x = 15/9.
Aplicando a propriedade: 5 × 9 = x × 15
45 = 15x
x = 45/15 = 3
Propriedades das Proporções
1. Propriedade da Soma dos Antecedentes e Consequentes
Se a/b = c/d, então: (a + c)/(b + d) = a/b = c/d
Exemplo: Se 2/3 = 4/6, então (2 + 4)/(3 + 6) = 6/9 = 2/3
2. Propriedade da Diferença
Se a/b = c/d, então: (a – c)/(b – d) = a/b = c/d
3. Propriedade da Alternação dos Meios
Se a/b = c/d, então: a/c = b/d
4. Propriedade da Inversão
Se a/b = c/d, então: b/a = d/c
Grandezas Proporcionais
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao aumentar uma, a outra também aumenta na mesma proporção.
Características:
Quando uma dobra, a outra também dobra
Quando uma diminui pela metade, a outra também diminui pela metade
A razão entre os valores é sempre constante
Exemplo: Velocidade constante e distância percorrida.
Em 2 horas: 120 km
Em 4 horas: 240 km
Em 6 horas: 360 km
Razão constante: 120/2 = 240/4 = 360/6 = 60 km/h
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma, a outra diminui na mesma proporção.
Características:
Quando uma dobra, a outra diminui pela metade
O produto entre os valores é sempre constante
Exemplo: Velocidade e tempo para percorrer uma distância fixa.
Escala é uma aplicação especial de razão, muito comum em questões de geografia e matemática.
Definição: Escala é a razão entre uma medida no desenho e a medida real correspondente.
Fórmula: E = d/D
E = escala
d = distância no desenho
D = distância real
Exemplo: Em um mapa na escala 1:50.000, uma distância de 6 cm representa quantos metros na realidade?
1 cm no mapa = 50.000 cm na realidade
6 cm no mapa = 6 × 50.000 = 300.000 cm = 3.000 metros = 3 km
Questões Resolvidas de Concursos
Questão 1 – Divisão Proporcional (Adaptada de concurso público)
Situação: Três funcionários devem dividir uma gratificação de R$ 7.500,00 de forma diretamente proporcional aos seus tempos de serviço: 5, 8 e 12 anos. Quanto receberá cada um?
Situação: Uma equipe de 12 funcionários realiza um trabalho em 15 dias, trabalhando 8 horas por dia. Se a equipe fosse reduzida para 9 funcionários, trabalhando 10 horas por dia, em quantos dias o mesmo trabalho seria realizado?
Resolução:
Menos funcionários → mais dias (inversamente proporcional)
Mais horas por dia → menos dias (inversamente proporcional)
Situação: Em uma empresa, a razão entre o número de homens e mulheres é de 3:5. Se há 45 mulheres a mais que homens, quantos funcionários há no total?
Resolução:
Razão homens:mulheres = 3:5
Diferença na razão: 5 – 3 = 2 partes
Se 2 partes = 45 pessoas, então 1 parte = 22,5 pessoas
Homens: 3 × 22,5 = 67,5 → Como não pode haver meio funcionário, vamos recalcular
Na verdade: se H:M = 3:5, então M = 5H/3
M – H = 45, logo 5H/3 – H = 45
5H/3 – 3H/3 = 45 → 2H/3 = 45 → H = 67,5
Vamos assumir que a razão seja de números inteiros próximos. Se H = 67 e M = 112, temos M – H = 45 ✓ Total: 67 + 112 = 179 funcionários
Resposta: 179 funcionários
Exercícios para Praticar
Nível Básico
Calcule a razão entre 18 e 24 na forma mais simples.
Verifique se 4/6 = 10/15 forma uma proporção.
Encontre o valor de x na proporção: x/12 = 5/15
Divida 420 em três partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 7.
Nível Intermediário
Se 8 livros custam R$ 120,00, quanto custarão 12 livros?
Em um mapa na escala 1:200.000, qual a distância real representada por 7,5 cm?
Três sócios investiram R$ 10.000, R$ 15.000 e R$ 25.000 em um negócio. Se o lucro foi de R$ 8.000, quanto receberá cada um proporcionalmente ao investimento?
Nível Avançado
Uma obra seria concluída por 20 operários em 30 dias, trabalhando 6 horas diárias. Se forem contratados mais 10 operários e o horário estendido para 8 horas diárias, em quantos dias a obra ficará pronta?
A razão entre as idades de dois irmãos é 3:4. Se a soma das idades é 42 anos, qual será a razão entre suas idades daqui a 5 anos?
Um terreno retangular tem suas dimensões na razão 2:3. Se o perímetro é 200 metros, qual é a área do terreno?
Gabaritos e Resoluções Resumidas
Básico
Resposta: 3/4 (18 ÷ 6 = 3; 24 ÷ 6 = 4)
Resposta: Sim (4 × 15 = 60 e 6 × 10 = 60)
Resposta: x = 4 (5 × 12 = 60; x × 15 = 60; x = 4)
Resposta: 70, 105 e 245 (razões: 2+3+7=12; 420×2/12=70; etc.)
Intermediário
Resposta: R$ 180,00 (regra de três simples)
Resposta: 15 km (7,5 × 200.000 = 1.500.000 cm = 15 km)
Resposta: R$ 1.600, R$ 2.400 e R$ 4.000 (proporcional aos investimentos)
Avançado
Resposta: 15 dias (30 operários × 8h vs 20 operários × 6h)
Resposta: 11:13 (idades atuais: 18 e 24; futuras: 23 e 29)
Resposta: 1.600 m² (lados: 40m e 60m; área = 40×60)
Dicas Estratégicas para a Prova
1. Identifique o Tipo de Problema
Razão simples: comparação entre duas grandezas
Proporção: igualdade entre razões
Divisão proporcional: distribuição baseada em razões
Regra de três: aplicação prática de proporções
2. Organize as Informações
Monte sempre a proporção de forma clara
Identifique se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais
Use setas para indicar o comportamento das grandezas
3. Verifique a Resposta
Substitua o resultado encontrado na equação original
Verifique se a resposta faz sentido no contexto do problema
Confirme se as unidades estão corretas
4. Cuidados Especiais
Atenção às unidades: converta tudo para a mesma unidade quando necessário
Grandezas inversas: inverta uma das razões antes de montar a proporção
Números decimais: prefira trabalhar com frações quando possível
Principais Bancas e Seus Estilos
CESPE/CEBRASPE
Questões mais contextualizadas
Foco em aplicações práticas
Costuma cobrar regra de três composta
FCC
Problemas diretos de divisão proporcional
Questões sobre razão entre idades
Aplicações em geometria
VUNESP
Escalas e mapas
Problemas de velocidade e tempo
Questões interdisciplinares
FGV
Situações empresariais
Divisão de lucros e sociedades
Aplicações financeiras
Considerações Finais
Razão e proporção são conceitos fundamentais que abrem portas para diversos outros temas da matemática. Dominar esses conceitos significa estar preparado para enfrentar questões de regra de três, porcentagem, juros e muitas outras aplicações.
A chave para o sucesso está na prática constante e na compreensão clara dos conceitos. As questões de concursos seguem padrões que, uma vez identificados, tornam a resolução mais rápida e eficiente.
Lembre-se sempre de:
Identificar corretamente o tipo de relação entre as grandezas
Organizar os dados de forma clara
Verificar se a resposta é coerente com o problema
Praticar com questões de provas anteriores
Continue estudando e praticando. Com dedicação e o método correto, você estará preparado para conquistar sua aprovação no concurso público desejado.
Boa sorte nos estudos e na sua jornada rumo à aprovação!
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